Rezolvare BAC 2013 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3(2 - \sqrt2) + 3\sqrt2 = 6$

$3(2 - \sqrt2) + 3\sqrt2 = 6 - 3\sqrt2 + 3\sqrt2 = 6.$

Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x - 1$; calculați $f(0)\cdot f(2)$

$f(0) = -1$, $f(2) = 1$, deci $f(0)\cdot f(2) = -1$.

Răspuns: $-1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. Ecuația $5^{x-2} = 25$

$25 = 5^2$, deci $x - 2 = 2 \iff x = 4$.

Răspuns: $x = 4$. Barem: 2p, 3p.

4. Un obiect costă 100 lei; prețul după o scumpire cu $10\%$

Scumpirea: $\frac{10}{100}\cdot 100 = 10$ lei; prețul nou: $110$ lei.

Răspuns: $110$ lei. Barem: 2p, 3p.

5. Distanța de la $A(1, 1)$ la $B(1, 3)$

$AB = \sqrt{(1-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt4 = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 3p, 2p.

6. $\cos 45^\circ + \cos 135^\circ$

$\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}$, deci suma este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $M(a) = \begin{pmatrix} 2a & 0\\ 0 & 2a\end{pmatrix}$

a) $M\left(\frac12\right) + M\left(-\frac12\right) = M(0)$

$M\left(\tfrac12\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad M\left(-\tfrac12\right) = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix},$

iar suma lor este $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} = M(0)$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $a$ cu $\det(M(a)) = 0$

$\det M(a) = 2a\cdot 2a - 0 = 4a^2 = 0 \iff a = 0.$

Răspuns: $a = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) $M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1) + M(2)$

$M(-a) + M(a) = O_2$ și $M(0) = O_2$, deci

$\big(M(-2) + M(2)\big) + \big(M(-1) + M(1)\big) + M(0) = O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

2. $f = X^3 - 2X^2 + 1$

a) $f(1) = 0$

$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0.$

Barem: 3p, 2p.

b) Câtul și restul împărțirii la $g = X^2 - 2X + 1$

$X^3 : X^2 = X$; $X\cdot g = X^3 - 2X^2 + X$; restul: $X^3 - 2X^2 + 1 - (X^3 - 2X^2 + X) = -X + 1$ (grad mai mic decât 2, ne oprim).

Răspuns: câtul $X$, restul $-X + 1$. Barem: 2p, 3p.

c) $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = 2$, $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 0$.

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 2^2 - 2\cdot 0 = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:[0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \sqrt x - 1$

a) $2\sqrt x f'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}, \qquad 2\sqrt x\cdot\frac{1}{2\sqrt x} = 1, \quad x > 0.$

Barem: 3p, 2p.

b) $y = \frac14x$ este tangenta în punctul de abscisă $x_0 = 4$

$f(4) = 2 - 1 = 1$, $f'(4) = \dfrac14$. Tangenta:

$y - 1 = \frac14(x - 4) \iff y = \frac14x.$

Barem: 2p, 3p.

c) $f$ este concavă pe $(0, +\infty)$

$f''(x) = \left(\frac12x^{-1/2}\right)' = -\frac14x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt x} < 0,$

pentru orice $x > 0$, deci $f$ este concavă. Barem: 3p, 2p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = 2x + 1 + \frac1x$

a) $\displaystyle\int_1^2\left(f(x) - \frac1x\right)dx$

$\int_1^2(2x + 1)\,dx = (x^2 + x)\Big|_1^2 = 6 - 2 = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 3p.

b) $F(x) = x^2 + x + \ln x$ este o primitivă a lui $f$

$F'(x) = 2x + 1 + \frac1x = f(x), \quad x > 0.$

Barem: 3p, 2p.

c) Aria suprafeței delimitate de $G_f$, $Ox$, $x = 1$, $x = 2$

$f > 0$ pe $[1, 2]$, deci

$\mathcal A = \int_1^2 f(x)\,dx = F(2) - F(1) = (4 + 2 + \ln 2) - (1 + 1 + 0) = 4 + \ln 2.$

Răspuns: $4 + \ln 2$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$-1$
I.3	$x = 4$
I.4	$110$ lei
I.5	$2$
I.6	$0$
II.1.b	$a = 0$
II.1.c	$O_2$
II.2.b	câtul $X$, restul $-X + 1$
II.2.c	$4$
III.1.b	$y = \tfrac14x$
III.2.a	$4$
III.2.c	$4 + \ln 2$

Ce merită reținut din varianta 2

• $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$: suma $\cos x + \cos(180^\circ - x)$ este mereu $0$.
• Restul împărțirii la un polinom de grad 2 are grad cel mult 1.
• Concavitate: $f'' < 0$ pe interval; pentru $\sqrt x$, $f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt x}$.
• Aria cu o primitivă dată: $\mathcal A = F(b) - F(a)$ când $f \ge 0$.