Rezolvare BAC 2012 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică (M2 — filiera tehnologică / științe ale naturii), sesiunea august–septembrie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $a = \log_3 2$; arătați că $\log_3 6 = 1 + a$

$\log_3 6 = \log_3(3\cdot 2) = \log_3 3 + \log_3 2 = 1 + a.$

Barem: 2p, 3p.

2. $A(0, 1)$ pe graficul lui $f(x) = x^2 - 2x + m - 3$

$f(0) = m - 3 = 1 \iff m = 4$.

Răspuns: $m = 4$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $\log_2(x + 1) - \log_2(x + 3) = -1$

Condiții: $x > -1$. $\log_2\dfrac{x+1}{x+3} = -1 \iff \dfrac{x+1}{x+3} = \dfrac12 \iff 2x + 2 = x + 3 \iff x = 1$, care convine.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 1p, 1p.

4. Probabilitatea ca un număr din $\{1, 2, \dots, 30\}$ să fie divizibil cu 7

Cazuri posibile: 30. Favorabile: $7, 14, 21, 28$ — 4.

$p = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}.$

Răspuns: $p = \dfrac2{15}$. Barem: 1p, 2p, 1p, 1p.

5. $B$ astfel încât $O$ să fie mijlocul lui $(AB)$, $A(4, -1)$

$x_B = 2x_O - x_A = -4$, $y_B = 2y_O - y_A = 1$.

Răspuns: $B(-4, 1)$. Barem: 3p, 2p.

6. $\cos A$ în triunghiul cu $AB = 5$, $AC = 6$, $BC = 7$

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac15.$

Răspuns: $\cos A = \dfrac15$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Sistemul $\begin{cases} x + y + z = 1\\ 2x + ay + 3z = 1\\ 4x + a^2y + 9z = 1\end{cases}$, cu matricea $A$

a) $\det A = -a^2 + 5a - 6$

$\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & a & 3\\ 4 & a^2 & 9\end{vmatrix} = 9a + 12 + 2a^2 - 4a - 3a^2 - 18 = -a^2 + 5a - 6.$

Barem: 2p, 3p.

b) $A$ inversabilă

$\det A \ne 0$; $-a^2 + 5a - 6 = 0 \iff a \in \{2, 3\}$.

Răspuns: $a \in \mathbb R \setminus \{2, 3\}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Sistemul pentru $a = 1$

$\begin{cases} x + y + z = 1\\ 2x + y + 3z = 1\\ 4x + y + 9z = 1\end{cases}$

Scăzând ecuațiile consecutive: $x + 2z = 0$ și $2x + 6z = 0$. Din prima $x = -2z$, înlocuit: $-4z + 6z = 0 \Rightarrow z = 0$, $x = 0$, apoi $y = 1$.

Răspuns: $(x, y, z) = (0, 1, 0)$. Barem: 2p, 3p.

2. În $\mathbb Z_5[X]$: $f = mX^5 + nX$

a) $n$ cu $f(\hat1) = m$

$f(\hat1) = m + n = m \iff n = \hat0$. Barem: 2p, 3p.

b) Rădăcinile pentru $m = \hat1$, $n = \hat4$

$f = X^5 + \hat4X = X^5 - X$. După mica teoremă a lui Fermat, $x^5 = x$ pentru orice $x \in \mathbb Z_5$; direct: $\hat2^5 = \widehat{32} = \hat2$, $\hat3^5 = \widehat{243} = \hat3$, $\hat4^5 = \widehat{1024} = \hat4$. Deci $f(x) = \hat0$ pentru toate elementele.

Răspuns: $\hat0, \hat1, \hat2, \hat3, \hat4$. Barem: 1p, 3p, 1p.

c) Dacă $f(\hat1) = f(\hat2)$, atunci $f(\hat3) = f(\hat4)$

Cum $x^5 = x$ în $\mathbb Z_5$, $f(x) = (m + n)x$. Atunci $f(\hat1) = m + n$, $f(\hat2) = \hat2(m + n)$; egalitatea dă $m + n = \hat0$. Rezultă $f(\hat3) = \hat3(m + n) = \hat0$ și $f(\hat4) = \hat4(m + n) = \hat0$, deci egale. $\blacksquare$ Barem: 1p, 2p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R\setminus\{-1\} \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 1}{x + 1}$

a) $f'(x)$

$f'(x) = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x - 1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + x - 1 - x^2 + x + 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)\ln x}{x^2 - x - 1}$

Se simplifică: $\dfrac{f(x)\ln x}{x^2 - x - 1} = \dfrac{\ln x}{x + 1}$. Cu l'Hospital: $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1/x}{1} = 0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 3p.

c) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x - 1}{x^2 + x} = 1, \qquad n = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2 - x - 1}{x+1} - x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{-2x - 1}{x + 1} = -2.$

Răspuns: $y = x - 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $f(x) = e^x\sqrt{x + 1}$, pe $(0, +\infty)$

a) Primitivele lui $g(x) = \dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}$

$g(x) = e^x$, deci $\displaystyle\int g(x)\,dx = e^x + C$. Barem: 2p, 3p.

b) $\displaystyle\int_1^2\sqrt{x+1}\,f(x)\,dx$

Integrandul este $(x + 1)e^x$. Prin părți:

$\int_1^2(x+1)e^x\,dx = (x+1)e^x\Big|_1^2 - \int_1^2 e^x\,dx = 3e^2 - 2e - (e^2 - e) = 2e^2 - e.$

Răspuns: $2e^2 - e$. Barem: 1p, 3p, 1p.

c) Aria pentru $h(x) = e^{-x}f(x)$ între $x = 2$ și $x = 3$

$h(x) = \sqrt{x + 1} > 0$:

$\mathcal A = \int_2^3\sqrt{x+1}\,dx = \frac23(x + 1)\sqrt{x+1}\Big|_2^3 = \frac23\left(8 - 3\sqrt3\right).$

Răspuns: $\dfrac23(8 - 3\sqrt3)$. Barem: 1p, 3p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$m = 4$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac2{15}$
I.5	$B(-4, 1)$
I.6	$\cos A = \tfrac15$
II.1.b	$a \notin \{2, 3\}$
II.1.c	$(0, 1, 0)$
II.2.a	$n = \hat0$
II.2.b	toate elementele lui $\mathbb Z_5$
III.1.b	$0$
III.1.c	$y = x - 2$
III.2.b	$2e^2 - e$
III.2.c	$\tfrac23(8 - 3\sqrt3)$

Ce merită reținut din varianta 9

• Mica teoremă a lui Fermat în $\mathbb Z_p$: $x^p = x$, deci $X^5 - X$ se anulează pe tot $\mathbb Z_5$.
• Determinant Vandermonde: liniile $1, a, a^2$ se recunosc ușor; se anulează când două „noduri” coincid.
• Simplifică înainte de limită: factorul $x^2 - x - 1$ dispare imediat.