Rezolvare BAC 2011 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M2 (științe ale naturii / tehnologic), sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_2 = 6$, $a_3 = 5$; calculați $a_6$

$r = a_3 - a_2 = -1$, deci $a_6 = a_3 + 3r = 5 - 3 = 2$.

Răspuns: $a_6 = 2$. Barem: 2p rația, 3p $a_6$.

2. Soluțiile întregi ale inecuației $2x^2 - x - 3 \le 0$

Rădăcinile trinomului: $x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 5}{4}$, adică $-1$ și $\dfrac32$. Trinomul (coeficient dominant pozitiv) este $\le 0$ între rădăcini: $x \in \left[-1, \frac32\right]$.

Răspuns: $x \in \{-1, 0, 1\}$. Barem: 3p intervalul, 2p soluțiile întregi.

3. Ecuația $\log_3(x+2) - \log_3(x-4) = 1$

Condiții: $x + 2 > 0$ și $x - 4 > 0$, deci $x > 4$.

$\log_3\frac{x+2}{x-4} = 1 \iff \frac{x+2}{x-4} = 3 \iff x + 2 = 3x - 12 \iff x = 7.$

$7 > 4$, deci convine. Răspuns: $x = 7$. Barem: 1p condițiile, 2p ecuația, 2p soluția.

4. Prețul inițial, știind că o scumpire cu $5\%$ înseamnă $12$ lei

$\frac{5}{100}\cdot x = 12 \iff x = 240.$

Răspuns: $240$ de lei. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

5. Mediatoarea segmentului $[AB]$, $A(1,4)$, $B(5,0)$

Mijlocul $M(3, 2)$; $m_{AB} = \dfrac{0 - 4}{5 - 1} = -1$, deci mediatoarea (perpendiculară pe $AB$) are panta $1$:

$d: y - 2 = 1\cdot(x - 3) \iff y = x - 1.$

Răspuns: $y = x - 1$. Barem: 1p mijlocul, 2p panta, 2p ecuația.

6. Raza cercului circumscris, $BC = 9$, $\angle BAC = 120^\circ$

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{9}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{9}{\sqrt3} = 3\sqrt3.$

Răspuns: $R = 3\sqrt3$. Barem: 2p teorema sinusurilor, 2p $\sin 120^\circ$, 1p rezultatul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $D(x,y) = \begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&y\\1&x+1&y+1\end{vmatrix}$, $x, y \in \mathbb Z$

Calcul general (util la toate punctele): scădem linia 2 din linia 3, apoi linia 1 din linia 2:

$D(x,y) = \begin{vmatrix}1&1&1\\0&x-1&y-1\\0&1&1\end{vmatrix} = (x - 1) - (y - 1) = x - y.$

a) $D(-1, 1)$

$D(-1,1) = \begin{vmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&0&2\end{vmatrix} = -2 + 1 + 0 + 1 - 0 - 2 = -2.$

Răspuns: $-2$ (și $x - y = -1 - 1 = -2$ ✔). Barem: 2p scrierea, 3p calculul.

b) $x \in \mathbb Z$ cu $D(x, 2010) = 1$

$D(x, 2010) = x - 2010 = 1 \iff x = 2011 \in \mathbb Z.$

Răspuns: $x = 2011$. Barem: 1p scrierea, 2p determinantul, 2p soluția.

c) $D(x,y)\cdot D(x,-y) = D(x^2, y^2)$

$D(x,y)\cdot D(x,-y) = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = D(x^2, y^2). \ \blacksquare$

Barem: 2p $D(x,y)$, 2p celelalte, 1p finalizarea.

2. $x * y = 2xy - 6x - 6y + 21$

a) $x * y = 2(x-3)(y-3) + 3$

$x * y = 2x(y - 3) - 6(y - 3) + 3 = (y-3)(2x - 6) + 3 = 2(x-3)(y-3) + 3.$

Barem: 3p gruparea, 2p finalizarea.

b) Legea este asociativă

$(x*y)*z = 2\big(2(x-3)(y-3)\big)(z-3) + 3 = 4(x-3)(y-3)(z-3) + 3,$

$x*(y*z) = 2(x-3)\big(2(y-3)(z-3)\big) + 3 = 4(x-3)(y-3)(z-3) + 3.$

Barem: 2p + 2p, 1p finalizarea.

c) $1 * 2 * \dots * 2011$

$x * 3 = 3 * x = 3$ pentru orice $x$. Deci

$(1 * 2) * 3 * (4 * \dots * 2011) = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p elementul absorbant, 2p rezultatul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^3 + x^2 + x + 3^x$

a) $f'(0)$

$f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 3^x\ln 3$, deci $f'(0) = 1 + \ln 3$.

Răspuns: $1 + \ln3$. Barem: 3p derivata, 2p valoarea.

b) $f$ este crescătoare pe $\mathbb R$

$f'(x) = 2x^2 + (x+1)^2 + 3^x\ln 3 > 0,$

pentru că primii doi termeni sunt $\ge 0$, iar $3^x\ln3 > 0$. Deci $f$ este (strict) crescătoare. Barem: 3p semnul derivatei, 2p concluzia.

c) $a^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \le 3^b - 3^a$ pentru $a \le b$

$f$ crescătoare și $a \le b$ $\Rightarrow$ $f(a) \le f(b)$:

$a^3 + a^2 + a + 3^a \le b^3 + b^2 + b + 3^b \iff a^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \le 3^b - 3^a. \ \blacksquare$

Barem: 3p monotonia, 1p + 1p rearanjarea.

2. $f_n:[0,1]\to\mathbb R$, $f_n(x) = x^ne^x$

a) $\displaystyle\int_0^1\frac{f_1(x)}{e^x}\,dx$

$\int_0^1 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1 f_1(x)\,dx$

Prin părți ($u = x$, $v' = e^x$):

$\int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 2p formula, 2p calculul, 1p rezultatul.

c) $\displaystyle\int_0^1 f_n(x^2)\,dx \ge \frac{1}{2n+1}$

$f_n(x^2) = x^{2n}e^{x^2}$, iar $e^{x^2} \ge 1$, deci $x^{2n}e^{x^2} \ge x^{2n}$ pe $[0,1]$. Integrând:

$\int_0^1 f_n(x^2)\,dx \ge \int_0^1 x^{2n}\,dx = \frac{1}{2n+1}. \ \blacksquare$

Barem: 1p scrierea, 2p minorarea, 2p calculul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_6 = 2$
I.2	$\{-1, 0, 1\}$
I.3	$x = 7$
I.4	$240$ lei
I.5	$y = x - 1$
I.6	$R = 3\sqrt3$
II.1.a	$-2$
II.1.b	$x = 2011$
II.2.c	$3$
III.1.a	$1 + \ln3$
III.2.a	$\frac12$
III.2.b	$1$

Ce merită reținut din varianta 2

• Mediatoarea trece prin mijloc și e perpendiculară pe segment.
• Determinanți cu linii aproape egale: scade liniile între ele înainte de calcul.
• Legea $2(x-3)(y-3) + 3$: $3$ este element absorbant.
• Inegalități din monotonie: $a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)$ pentru $f$ crescătoare.