Rezolvare BAC 2010 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică M2 (filiera tehnologică / științele naturii), sesiunea de rezervă, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Calculați $\log_2(3 + \sqrt5) + \log_2(3 - \sqrt5)$

Suma logaritmilor este logaritmul produsului:

$\log_2\big((3+\sqrt5)(3-\sqrt5)\big) = \log_2(9 - 5) = \log_2 4 = 2.$

Barem: 3p produsul, 2p rezultatul.

2. $f(x) = mx^2 + 2x - 5$; abscisa vârfului este $2$

$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2m} = -\frac1m = 2 \iff m = -\frac12.$

Răspuns: $m = -\dfrac12$. Barem: 3p ecuația, 2p valoarea.

3. Ecuația $3^{1-x^2} = \frac{1}{27}$

$3^{1-x^2} = 3^{-3} \iff 1 - x^2 = -3 \iff x^2 = 4 \iff x \in \{-2, 2\}.$

Barem: 3p ecuația exponenților, 2p soluțiile.

4. Calculați $C_6^2 - A_4^2$

$C_6^2 = \frac{6\cdot5}{2} = 15, \qquad A_4^2 = 4\cdot3 = 12, \qquad C_6^2 - A_4^2 = 3.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

5. Distanța de la $O$ la mijlocul lui $AB$, $A(2,-2)$, $B(6,8)$

Mijlocul: $C(4, 3)$. $OC = \sqrt{16 + 9} = 5$.

Răspuns: $5$. Barem: 2p mijlocul, 3p distanța.

6. Calculați $\cos130^\circ + \cos50^\circ$

$\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, deci $\cos130^\circ = -\cos50^\circ$ și suma este $0$.

Barem: 2p formula, 3p rezultatul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 1 & 3 & -1\\ m & 0 & 2\end{pmatrix}$, sistemul $\begin{cases} x - y - z = -2\\ x + 3y - z = -2\\ mx + 2z = 4\end{cases}$

a) $\det A$

Regula lui Sarrus:

$\det A = 6 + m + 0 - (-3m) - 0 - (-2) = 8 + 4m.$

Barem: 3p scrierea, 2p calculul.

b) $A$ inversabilă

$A$ inversabilă $\iff \det A \ne 0 \iff 8 + 4m \ne 0 \iff m \ne -2$.

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{-2\}$. Barem: 3p + 2p.

c) Sistemul pentru $m = -1$

$\det A = 4 \ne 0$, deci sistemul are soluție unică.

• Scădem primele două ecuații: $4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
• Rămâne $x - z = -2$ și $-x + 2z = 4$; adunându-le: $z = 2$, apoi $x = 0$.

Răspuns: $x = 0$, $y = 0$, $z = 2$. Barem: 2p determinantul, 3p soluția.

2. $x\circ y = 2xy - 2x - 2y + 3$

a) $x\circ y = 2(x-1)(y-1) + 1$

$2xy - 2x - 2y + 2 + 1 = 2x(y-1) - 2(y-1) + 1 = 2(x-1)(y-1) + 1.$

Barem: 2p + 3p.

b) Elementul neutru

$x\circ e = x$ pentru orice $x$: $2(x-1)(e-1) + 1 = x \iff (x-1)\big(2(e-1) - 1\big) = 0$ pentru orice $x$, deci $2e - 3 = 0$. Legea este comutativă, deci și $e\circ x = x$.

Răspuns: $e = \dfrac32$. Barem: 2p condiția, 3p valoarea.

c) $a, b \in \mathbb Q\setminus\mathbb Z$ cu $a\circ b \in \mathbb Z$

Căutăm $2(a-1)(b-1)$ întreg. De exemplu $a = \frac52$, $b = \frac53$: $a - 1 = \frac32$, $b - 1 = \frac23$.

$a\circ b = 2\cdot\frac32\cdot\frac23 + 1 = 2 + 1 = 3 \in \mathbb Z.$

Răspuns (exemplu): $a = \frac52$, $b = \frac53$. Barem: 2p exemplul, 3p verificarea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$

a) $f'(x)$

$f'(x) = \frac{(x^2+3)'}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Tangenta în $A(1,2)$

$f(1) = 2$, $f'(1) = \dfrac12$.

$y - 2 = \frac12(x - 1) \iff y = \frac12x + \frac32.$

Barem: 1p formula, 2p valorile, 2p ecuația.

c) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x} = 1, \qquad n = \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3} - x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{x^2+3} + x} = 0.$

Răspuns: $y = x$. Barem: 2p + 1p + 1p + 1p.

2. $f_n(x) = x^n\ln x$, $x > 0$

a) $\displaystyle\int_e^{e^2}\frac{\ln x}{f_1(x)}\,dx$

$\dfrac{\ln x}{x\ln x} = \dfrac1x$ (pe $[e, e^2]$, $\ln x \ne 0$):

$\int_e^{e^2}\frac1x\,dx = \ln x\Big|_e^{e^2} = 2 - 1 = 1.$

Barem: 1p + 1p + 1p + 2p.

b) Primitivele lui $f_1$ sunt convexe pe $\left[\frac1e, +\infty\right)$

Fie $F$ o primitivă: $F' = f_1$, deci $F''(x) = f_1'(x) = \ln x + 1$. Pentru $x \ge \frac1e$: $\ln x \ge -1$, deci $F''(x) \ge 0$ și $F$ este convexă. $\blacksquare$ Barem: 3p $F''$, 2p concluzia.

c) $\displaystyle\int_1^e\frac{f_{2009}(x)}{x^{2010}}\,dx$

$\dfrac{x^{2009}\ln x}{x^{2010}} = \dfrac{\ln x}{x}$:

$\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 1p + 1p + 2p + 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2$
I.2	$m = -\frac12$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$3$
I.5	$5$
I.6	$0$
II.1.a	$8 + 4m$
II.1.b	$m \ne -2$
II.1.c	$(0, 0, 2)$
II.2.b	$e = \frac32$
III.1.b	$y = \frac12x + \frac32$
III.1.c	$y = x$
III.2.a	$1$
III.2.c	$\frac12$

Ce merită reținut din varianta 8

• $\log(a + \sqrt b) + \log(a - \sqrt b)$: produsul conjugatelor scapă de radical.
• Unghiuri suplementare: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
• Convexitatea primitivelor: $F'' = f'$, deci studiezi semnul derivatei lui $f$.
• $\sqrt{x^2 + c} - x$ la $+\infty$: amplifică cu conjugata.