Rezolvare BAC 2010 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică (M2 — filiera tehnologică / științe ale naturii), sesiunea iunie–iulie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\log_2\dfrac18 + \sqrt[3]{27}$

$\log_2\dfrac18 = \log_2 2^{-3} = -3$, $\sqrt[3]{27} = 3$, deci suma este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Vârful parabolei $f(x) = x^2 - 2x + 3$

$x_V = -\frac{b}{2a} = 1, \qquad y_V = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4 - 12}{4} = 2.$

Răspuns: $V(1, 2)$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $2 - 3^{x^2 - 1} = 1$

$3^{x^2-1} = 1 = 3^0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x \in \{-1, 1\}$.

Răspuns: $x \in \{-1, 1\}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. Numere de trei cifre distincte cu elemente din $\{1, 2, 3, 4\}$

Contează ordinea și cifrele sunt distincte: aranjamente $A_4^3 = 4\cdot 3\cdot 2 = 24$.

Răspuns: 24. Barem: 2p, 3p.

5. $\vec v_1 = 2\vec i - \vec j$, $\vec v_2 = \vec i + 3\vec j$; coordonatele lui $\vec w = 2\vec v_1 - \vec v_2$

$\vec w = 4\vec i - 2\vec j - \vec i - 3\vec j = 3\vec i - 5\vec j.$

Răspuns: $\vec w(3, -5)$. Barem: 2p, 3p.

6. Înălțimea din $A$ în triunghiul dreptunghic cu catetele $AB = 3$, $AC = 4$

$BC = \sqrt{9 + 16} = 5$, iar $h = \dfrac{AB\cdot AC}{BC} = \dfrac{12}{5}$.

Răspuns: $h = \dfrac{12}{5}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

a) $A^2 - A$

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad A^2 - A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 3p, 2p.

b) $A^{-1}$

$\det A = -1 \ne 0$. Adjuncta $A^* = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$, deci

$A^{-1} = \frac{1}{-1}A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}.$

(Sau direct din a): $A(A - I_2) = I_2$, deci $A^{-1} = A - I_2$.) Barem: 1p, 2p, 2p.

c) $A\cdot X = \begin{pmatrix} 2010 & 2010\\ 2009 & 2010\end{pmatrix}$

$X = A^{-1}\begin{pmatrix} 2010 & 2010\\ 2009 & 2010\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2009 & 2010\\ 2010 - 2009 & 2010 - 2010\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2009 & 2010\\ 1 & 0\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

2. În $\mathbb Z_3[X]$: $f = X^2 + X$, $g = X^2 + \hat2X + a$

a) $f(\hat0) + f(\hat1)$

$f(\hat0) = \hat0$, $f(\hat1) = \hat2$, suma $\hat2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Rădăcinile lui $f$

$f(\hat0) = \hat0$, $f(\hat1) = \hat2$, $f(\hat2) = \hat4 + \hat2 = \hat6 = \hat0$.

Răspuns: $\hat0$ și $\hat2$. Barem: 3p, 2p.

c) $f(\hat0) + f(\hat1) + f(\hat2) = g(\hat0) + g(\hat1) + g(\hat2)$

$g(\hat0) = a$, $g(\hat1) = \hat1 + \hat2 + a = a$, $g(\hat2) = \hat4 + \hat4 + a = \hat2 + a$. Suma: $\hat3a + \hat2 = \hat2$.

Iar $f(\hat0) + f(\hat1) + f(\hat2) = \hat0 + \hat2 + \hat0 = \hat2$. Egale pentru orice $a$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^2e^x$

a) $f'(x)$

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x$. Barem: 2p, 3p.

b) $f$ descrescătoare pe $[-2, 0]$

$f'(x) = x(x + 2)e^x \le 0$ pentru $x \in [-2, 0]$ ($x \le 0$, $x + 2 \ge 0$). Barem: 2p, 3p.

c) $0 \le f(x) + f(x^2) \le \dfrac{e^2 + 1}{e}$ pentru $x \in [-1, 0]$

• $f$ descrescătoare pe $[-1, 0]$: $0 = f(0) \le f(x) \le f(-1) = \dfrac1e$;
• $x^2 \in [0, 1]$ și $f$ crescătoare pe $[0, 1]$ ($f' \ge 0$ acolo): $0 = f(0) \le f(x^2) \le f(1) = e$.

Adunând: $0 \le f(x) + f(x^2) \le e + \dfrac1e = \dfrac{e^2 + 1}{e}$. $\blacksquare$ Barem: 1p, 2p, 2p.

2. $f:\mathbb R^* \to \mathbb R$, $f(x) = x + \dfrac1x$

a) $\displaystyle\int_1^3\left(f(x) - \frac1x\right)dx$

$\int_1^3 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_1^3 = \frac{9 - 1}{2} = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Volumul pentru $g = f|_{[1,2]}$

$V = \pi\int_1^2\left(x^2 + 2 + \frac1{x^2}\right)dx = \pi\left(\frac{x^3}{3} + 2x - \frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{8}{3} + 4 - \frac12 - \frac13 - 2 + 1\right) = \frac{29\pi}{6}.$

Răspuns: $\dfrac{29\pi}{6}$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

c) $\displaystyle\int_1^e f(x)\ln x\,dx$

$\int_1^e x\ln x\,dx + \int_1^e\frac{\ln x}{x}dx.$

• Prin părți: $\displaystyle\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$, deci $\left(\dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \dfrac14\right) = \dfrac{e^2 + 1}{4}$;
• $\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12$.

Total: $\dfrac{e^2 + 1}{4} + \dfrac24 = \dfrac{e^2 + 3}{4}$.

Răspuns: $\dfrac{e^2 + 3}{4}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$0$
I.2	$V(1, 2)$
I.3	$x \in \{-1, 1\}$
I.4	24
I.5	$\vec w(3, -5)$
I.6	$h = \tfrac{12}{5}$
II.1.a	$I_2$
II.1.b	$A^{-1} = \begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}2009&2010\\1&0\end{pmatrix}$
II.2.b	$\hat0$, $\hat2$
III.2.a	$4$
III.2.b	$\tfrac{29\pi}{6}$
III.2.c	$\tfrac{e^2+3}{4}$

Ce merită reținut din varianta 9

• Înălțimea pe ipotenuză: $h = \frac{c_1c_2}{ip}$.
• Relația $A^2 - A = I_2$ dă imediat inversa: $A^{-1} = A - I_2$.
• Încadrări cu funcții monotone: aplică monotonia separat pe intervalul fiecărui argument ($x$ și $x^2$).