Rezolvare BAC 2010 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 6

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică (M2 — filiera tehnologică / științe ale naturii), sesiunea august–septembrie, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $x \in \mathbb Z$ cu $-1 \le \dfrac{x+1}{3} \le 1$

$-3 \le x + 1 \le 3 \iff -4 \le x \le 2.$

Răspuns: $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Funcția de gradul al doilea cu graficul prin $A(0,0)$, $B(2,2)$, $C(-1,2)$

$f(x) = ax^2 + bx + c$:

$f(0) = 0 \Rightarrow c = 0, \quad f(2) = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 2, \quad f(-1) = 2 \Rightarrow a - b = 2.$

Din $2a + b = 1$ și $a - b = 2$: $3a = 3$, $a = 1$, $b = -1$.

Răspuns: $f(x) = x^2 - x$. Barem: 3p sistemul, 2p funcția.

3. $\log_2(x + 3) - \log_2 x = 2$

Condiții: $x > 0$. $\log_2\dfrac{x+3}{x} = 2 \iff \dfrac{x+3}{x} = 4 \iff x + 3 = 4x \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. Probabilitatea ca $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ să verifice $2^n \ge n^2$

$n$	1	2	3	4
$2^n$	2	4	8	16
$n^2$	1	4	9	16

Inegalitatea are loc pentru $n \in \{1, 2, 4\}$: 3 cazuri favorabile din 4.

Răspuns: $p = \dfrac34$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

5. $A(2,0)$, $B(1,-1)$: $C$ cu $\vec{OC} = 2\vec{OA} + \vec{OB}$

$2\vec{OA} + \vec{OB} = 4\vec i + \vec i - \vec j = 5\vec i - \vec j.$

Răspuns: $C(5, -1)$. Barem: 3p, 2p.

6. Raza cercului circumscris: $AB = 6$, $m(\angle ACB) = 30^\circ$

Teorema sinusurilor: $\dfrac{AB}{\sin C} = 2R$, deci $R = \dfrac{6}{2\cdot\frac12} = 6$.

Răspuns: $R = 6$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det(A)$

Matrice inferior triunghiulară: $\det A = 1\cdot1\cdot1 = 1$. Barem: 3p, 2p.

b) Verificați că $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$A\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 - 1 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3,$

și analog produsul în ordine inversă dă $I_3$. Deci da, este inversa. Barem: 2p + 2p + 1p.

c) $A\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix}$

Înmulțim la stânga cu $A^{-1}$:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\end{pmatrix}.$

(Linia a treia: $-1 + 3 = 2$.) Barem: 3p, 2p.

2. $f \in \mathbb Z_3[X]$, $f = X^3 + \hat2X^2$; $G = \{aX^3 + bX^2 + cX + d \mid a, b, c, d \in \mathbb Z_3\}$

a) $f(\hat1)$

$f(\hat1) = \hat1 + \hat2 = \hat3 = \hat0$. Barem: 2p, 3p.

b) Rădăcinile lui $f$

$f = X^2(X + \hat2)$. Rădăcini: $X = \hat0$ și $X = -\hat2 = \hat1$.

Răspuns: $\hat0$ și $\hat1$. Barem: 2p, 3p.

c) Numărul elementelor lui $G$

Fiecare dintre $a, b, c, d$ ia 3 valori din $\mathbb Z_3$: $3^4 = 81$.

Răspuns: 81. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:[0,1] \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{e^x}{1 + x}$

a) $\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{x}{x+1}$

$f'(x) = \frac{e^x(1 + x) - e^x}{(1 + x)^2} = \frac{xe^x}{(x + 1)^2}, \qquad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}\cdot\frac{x + 1}{e^x} = \frac{x}{x+1}.$

Barem: 3p, 2p.

b) $f$ crescătoare pe $[0,1]$

$f'(x) = \dfrac{xe^x}{(x+1)^2} \ge 0$ pentru $x \in [0,1]$. Barem: 2p, 3p.

c) $\dfrac2e \le \dfrac{1}{f(x)} \le 1$

Din b): $f(0) \le f(x) \le f(1)$, adică $1 \le f(x) \le \dfrac e2$. Trecând la inverse (numere pozitive): $\dfrac2e \le \dfrac{1}{f(x)} \le 1$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = \begin{cases}\sqrt{x^2 + 3}, & x \ge 1\\ 2x, & x < 1\end{cases}$

a) $f$ admite primitive pe $\mathbb R$

$\lim\limits_{x\nearrow1}2x = 2$, $\lim\limits_{x\searrow1}\sqrt{x^2+3} = 2 = f(1)$: $f$ continuă în 1, deci continuă pe $\mathbb R$ și admite primitive. Barem: 3p, 2p.

b) Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g = f|_{[1,2]}$

$V = \pi\int_1^2(x^2 + 3)\,dx = \pi\left(\frac{x^3}{3} + 3x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac83 + 6 - \frac13 - 3\right) = \frac{16\pi}{3}.$

Răspuns: $\dfrac{16\pi}{3}$. Barem: 1p, 3p, 1p.

c) $\displaystyle\int_1^{\sqrt6} x f(x)\,dx$

Pe $[1, \sqrt6]$: $\displaystyle\int_1^{\sqrt6}x\sqrt{x^2 + 3}\,dx$. Substituim $t = x^2 + 3$, $dt = 2x\,dx$, $t \in [4, 9]$:

$\frac12\int_4^9\sqrt t\,dt = \frac12\cdot\frac23 t^{3/2}\Big|_4^9 = \frac13(27 - 8) = \frac{19}{3}.$

Răspuns: $\dfrac{19}{3}$. Barem: 1p, 4p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$\{-4, \dots, 2\}$
I.2	$f(x) = x^2 - x$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac34$
I.5	$C(5, -1)$
I.6	$R = 6$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$
II.2.b	$\hat0$, $\hat1$
II.2.c	81
III.2.b	$\tfrac{16\pi}{3}$
III.2.c	$\tfrac{19}{3}$

Ce merită reținut din varianta 6

• Polinoame peste $\mathbb Z_n$: $-\hat2 = \hat1$ în $\mathbb Z_3$; testează toate cele $n$ valori dacă ai dubii.
• Ecuații matriceale $AX = B$: $X = A^{-1}B$ (înmulțire la stânga).
• $\int x\sqrt{x^2 + a}\,dx$: substituția $t = x^2 + a$.