Rezolvare BAC 2012 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică M2 (filiera tehnologică / științele naturii), sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Ordonați crescător $\sqrt{12}$, $2\sqrt2$ și $3$

Comparăm pătratele (toate numerele sunt pozitive): $(\sqrt{12})^2 = 12$, $(2\sqrt2)^2 = 8$, $3^2 = 9$. Cum $8 < 9 < 12$:

$2\sqrt2 < 3 < \sqrt{12}.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

2. Sistemul $x + y = 5$, $xy = 6$

$x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2 - 5t + 6 = 0$, adică $t \in \{2, 3\}$.

Răspuns: $S = \{(2,3), (3,2)\}$. Barem: 2p + 2p + 1p.

3. $f(x) = \log_2(x+1)$, $g(x) = 2^x - 1$; calculați $f(g(1))$

$g(1) = 2 - 1 = 1$, $f(1) = \log_2 2 = 1$.

Răspuns: $f(g(1)) = 1$. Barem: 2p + 3p.

4. Mulțimea are 10 submulțimi cu două elemente; câte elemente are?

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} = 10 \iff n^2 - n - 20 = 0 \iff (n-5)(n+4) = 0.$

Răspuns: $n = 5$. Barem: 2p + 3p.

5. Mediana din $O$ în triunghiul $OAB$, $A(5,1)$, $B(3,5)$

Mijlocul lui $AB$: $M(4, 3)$. $OM = \sqrt{16 + 9} = 5$.

Răspuns: $5$. Barem: 2p + 3p.

6. $MP = 6$, $\sin N = \frac35$, $\sin P = \frac45$; aflați $MN$

Teorema sinusurilor: $\dfrac{MN}{\sin P} = \dfrac{MP}{\sin N}$.

$MN = \frac{6\cdot\frac45}{\frac35} = 6\cdot\frac43 = 8.$

Răspuns: $MN = 8$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Sistemul $\begin{cases} mx - 2y + z = 1\\ 2x - my - 3z = 3\\ x - y + 2z = 4\end{cases}$

a) Suma elementelor de pe diagonala principală este $2$

Diagonala matricei sistemului: $m$, $-m$, $2$. Suma: $m - m + 2 = 2$. Barem: 3p + 2p.

b) $m$ pentru care determinantul este nenul

$\det A = \begin{vmatrix} m & -2 & 1\\ 2 & -m & -3\\ 1 & -1 & 2\end{vmatrix} = -2m^2 + 6 - 2 - (-m + 3m - 8) = -2m^2 - 2m + 12.$

$-2m^2 - 2m + 12 = -2(m^2 + m - 6) = -2(m+3)(m-2)$.

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{-3, 2\}$. Barem: 3p + 2p.

c) Pentru $m = 1$: $y_1^2 = x_1z_1$

$\begin{cases} x - 2y + z = 1\\ 2x - y - 3z = 3\\ x - y + 2z = 4\end{cases}$

Scăzând prima din a treia: $y + z = 3 \Rightarrow y = 3 - z$. Din a treia: $x = 4 + y - 2z = 7 - 3z$. În a doua: $14 - 6z - 3 + z - 3z = 3 \Rightarrow 8z = 8 \Rightarrow z = 1$, deci $y = 2$, $x = 4$.

$y_1^2 = 4 = 4\cdot1 = x_1z_1$. $\blacksquare$ Barem: 4p soluția, 1p finalizarea.

2. $f = X^3 + mX^2 + mX + 1$

a) Pentru $m = 0$, restul împărțirii la $X - 1$

$f = X^3 + 1$, restul este $f(1) = 2$.

Barem: 2p + 3p.

b) $f$ divizibil cu $X + 1$ pentru orice $m$

$f(-1) = -1 + m - m + 1 = 0$, deci $X + 1 \mid f$. Barem: 3p + 2p.

c) $f$ are trei rădăcini reale

$f = (X + 1)\big(X^2 + (m - 1)X + 1\big)$ (verificare: $X^3 + (m-1)X^2 + X + X^2 + (m-1)X + 1 = X^3 + mX^2 + mX + 1$ ✔).

$f$ are trei rădăcini reale $\iff$ factorul de gradul II are rădăcini reale $\iff \Delta = (m-1)^2 - 4 \ge 0 \iff m^2 - 2m - 3 \ge 0 \iff (m-3)(m+1) \ge 0$.

Răspuns: $m \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$. Barem: 2p + 2p + 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 2}$

a) $f'(x) = \dfrac{10x}{(x^2+2)^2}$

$f'(x) = \frac{4x(x^2 + 2) - 2x(2x^2 - 1)}{(x^2+2)^2} = \frac{4x^3 + 8x - 4x^3 + 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{10x}{(x^2+2)^2}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Asimptota orizontală spre $+\infty$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2$.

Răspuns: $y = 2$. Barem: 3p + 2p.

c) $-\frac12 \le f(x) \le \frac13$ pentru $x \in [0,1]$

Pe $[0,1]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare: $f(0) \le f(x) \le f(1)$.

$f(0) = -\frac12, \qquad f(1) = \frac{1}{3}. \ \blacksquare$

Barem: 2p + 3p.

2. $I_n = \displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx$

a) $I_1$

$I_1 = \int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx = \int_0^1\left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = \big(x - \ln(x+1)\big)\Big|_0^1 = 1 - \ln2.$

Barem: 2p + 3p.

b) $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$

$I_n + I_{n+1} = \int_0^1\frac{x^n + x^{n+1}}{x + 1}\,dx = \int_0^1\frac{x^n(1 + x)}{x + 1}\,dx = \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}.$

Barem: 2p + 3p.

c) $\dfrac{1}{4026} \le I_{2012} \le \dfrac{1}{2013}$

Pentru $x \in [0,1]$: $1 \le x + 1 \le 2$, deci

$\frac{x^{2012}}{2} \le \frac{x^{2012}}{x+1} \le x^{2012}.$

Integrând pe $[0,1]$ și folosind $\int_0^1 x^{2012}dx = \frac{1}{2013}$:

$\frac{1}{2\cdot2013} = \frac{1}{4026} \le I_{2012} \le \frac{1}{2013}. \ \blacksquare$

Barem: 2p + 1p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2\sqrt2 < 3 < \sqrt{12}$
I.2	$(2,3)$, $(3,2)$
I.3	$1$
I.4	$n = 5$
I.5	$5$
I.6	$MN = 8$
II.1.b	$m \notin \{-3, 2\}$
II.1.c	$(4, 2, 1)$
II.2.a	rest $2$
II.2.c	$m \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$
III.1.b	$y = 2$
III.2.a	$1 - \ln2$

Ce merită reținut din varianta 3

• Compararea radicalilor: compară pătratele.
• Sistemul $x + y = S$, $xy = P$: $x, y$ sunt rădăcinile lui $t^2 - St + P = 0$.
• Polinom reciproc $X^3 + mX^2 + mX + 1$: are mereu rădăcina $-1$.
• Șiruri de integrale $\int_0^1\frac{x^n}{x+1}$: suma a doi termeni consecutivi simplifică numitorul; încadrarea se face cu $1 \le x+1 \le 2$.