Rezolvare BAC 2011 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M2 (filiera tehnologică / științele naturii), sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Calculați $\log_6 3 + \log_6 12$

$\log_6(3\cdot12) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2.$

Barem: 3p + 2p.

2. Vârful parabolei $f(x) = 2x^2 - x + 3$

$x_V = -\frac{b}{2a} = \frac14, \qquad \Delta = 1 - 24 = -23, \qquad y_V = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{23}{8}.$

Răspuns: $V\left(\dfrac14, \dfrac{23}{8}\right)$. Barem: 2p + 1p + 2p.

3. Ecuația $7^x + 7^{x+1} = 392$

$7^x + 7\cdot7^x = 8\cdot7^x = 392 \iff 7^x = 49 \iff x = 2.$

Barem: 1p + 2p + 2p.

4. $n \ge 2$ cu $C_n^2 = 4A_n^1$

$\frac{n(n-1)}{2} = 4n \iff \frac{n-1}{2} = 4 \iff n = 9.$

Răspuns: $n = 9$. Barem: 2p + 2p + 1p.

5. $A(0,-2)$, $B(4,m)$, $AB = 5$

$\sqrt{16 + (m+2)^2} = 5 \iff (m+2)^2 = 9 \iff m + 2 = \pm3.$

Răspuns: $m \in \{-5, 1\}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

6. Calculați $\cos40^\circ + \cos140^\circ$

$\cos140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos40^\circ$, deci suma este $0$.

Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1\\ 1 & m & -1\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$ și sistemul omogen asociat

a) $\det A$

$\det A = m^2 + 1 - 2 - m - 2m + 1 = m^2 - 3m.$

(Termenii: $m\cdot m\cdot1$, $(-1)(-1)(1)$, $1\cdot1\cdot(-2)$, minus $1\cdot m\cdot1$, $m\cdot(-1)(-2)$, $(-1)\cdot1\cdot1$.) Barem: 3p + 2p.

b) $m$ pentru care $(-1, 2, 5)$ este soluție

$\begin{cases} -m - 2 + 5 = 0\\ -1 + 2m - 5 = 0\\ -1 - 4 + 5 = 0\end{cases} \Rightarrow m = 3 \text{ (din primele două; a treia e adevărată)}.$

Răspuns: $m = 3$. Barem: 3p + 2p.

c) Sistemul admite doar soluția nulă

Un sistem omogen are doar soluția banală $\iff \det A \ne 0 \iff m(m - 3) \ne 0$.

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{0, 3\}$. Barem: 2p + 3p.

2. $x * y = xy + x + y$

a) Asociativitate

$(x*y)*z = (xy + x + y)z + xy + x + y + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z,$ $x*(y*z) = x(yz + y + z) + x + yz + y + z = xyz + xy + xz + x + yz + y + z.$

Expresiile coincid. (Alternativ: $x * y = (x+1)(y+1) - 1$.) Barem: 2p + 2p + 1p.

b) Elementul neutru

$x * e = xe + x + e = x \iff e(x + 1) = 0$ pentru orice $x$, deci $e = 0$.

Răspuns: $e = 0$. Barem: 2p + 1p + 2p.

c) $x^2 * 2 = x * 4$

$x^2 * 2 = 2x^2 + x^2 + 2 = 3x^2 + 2$, $x * 4 = 4x + x + 4 = 5x + 4$.

$3x^2 + 2 = 5x + 4 \iff 3x^2 - 5x - 2 = 0 \iff (3x + 1)(x - 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \left\{-\dfrac13, 2\right\}$. Barem: 1p + 1p + 1p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x+2}{(x-1)^2}$

a) $f'(x) = \dfrac{-x-5}{(x-1)^3}$

$f'(x) = \frac{(x-1)^2 - 2(x-1)(x+2)}{(x-1)^4} = \frac{(x - 1) - 2(x + 2)}{(x-1)^3} = \frac{-x - 5}{(x-1)^3}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Asimptota verticală

$f$ e continuă pe $\mathbb R\setminus\{1\}$ și $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x+2}{(x-1)^2} = \dfrac{3}{0^+} = +\infty$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $f(x) + \frac{1}{12} \ge 0$ pentru $x < 1$

Pe $(-\infty, 1)$, $(x-1)^3 < 0$, deci semnul lui $f'$ este opus semnului lui $-x - 5$:

• $x < -5$: $-x - 5 > 0 \Rightarrow f' < 0$, $f$ descrescătoare;
• $-5 < x < 1$: $-x - 5 < 0 \Rightarrow f' > 0$, $f$ crescătoare.

$x = -5$ este punct de minim pe $(-\infty, 1)$: $f(-5) = \dfrac{-3}{36} = -\dfrac{1}{12}$. Deci $f(x) \ge -\dfrac{1}{12}$. $\blacksquare$ Barem: 1p + 2p + 2p.

2. $f(x) = \begin{cases}\dfrac{\ln x}{x}, & x > 1\\[2mm] \dfrac{x-1}{x}, & 0 < x \le 1\end{cases}$

a) $\displaystyle\int_2^e\frac{f(x)}{\ln x}\,dx$

Pe $[2, e]$, $x > 1$, deci $\dfrac{f(x)}{\ln x} = \dfrac1x$:

$\int_2^e\frac1x\,dx = \ln x\Big|_2^e = 1 - \ln2.$

Barem: 3p + 2p.

b) Primitiva lui $g = f|_{(0,1]}$ al cărei grafic conține $A(1, 5)$

$g(x) = \dfrac{x-1}{x} = 1 - \dfrac1x$, deci $G(x) = x - \ln x + c$. $G(1) = 1 + c = 5 \Rightarrow c = 4$.

Răspuns: $G(x) = x - \ln x + 4$. Barem: 1p + 1p + 1p + 1p + 1p.

c) $\displaystyle\int_{\frac12}^e f(x)\,dx$

$\int_{\frac12}^1\left(1 - \frac1x\right)dx + \int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx.$

• $\displaystyle\int_{\frac12}^1\left(1 - \frac1x\right)dx = (x - \ln x)\Big|_{\frac12}^1 = 1 - \left(\frac12 + \ln2\right) = \frac12 - \ln2$;
• $\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12$.

Răspuns: $1 - \ln2$. Barem: 2p + 1p + 1p + 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2$
I.2	$V(\frac14, \frac{23}{8})$
I.3	$x = 2$
I.4	$n = 9$
I.5	$m \in \{-5, 1\}$
I.6	$0$
II.1.a	$m^2 - 3m$
II.1.b	$m = 3$
II.1.c	$m \notin \{0, 3\}$
II.2.b	$e = 0$
II.2.c	$x \in \{-\frac13, 2\}$
III.1.b	$x = 1$
III.2.a	$1 - \ln2$
III.2.b	$G(x) = x - \ln x + 4$
III.2.c	$1 - \ln2$

Ce merită reținut din varianta 3

• $a^x + a^{x+1}$: dă factor comun $a^x$.
• Sistem omogen: doar soluția nulă $\iff \det \ne 0$.
• Inegalitatea $f(x) \ge c$ pe un interval: găsește minimul cu tabelul de variație (atenție la semnul lui $(x-1)^3$).
• Integrala unei funcții pe ramuri: împarte intervalul în punctul de racord.