Rezolvare BAC 2012 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică M2 (filiera tehnologică; filiera teoretică, specializarea științe ale naturii), sesiunea specială, varianta 7. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_4 = 7$, $a_9 = 22$. Calculați $a_{14}$

$a_9 = a_4 + 5r \Rightarrow 22 = 7 + 5r \Rightarrow r = 3$. Apoi

$a_{14} = a_9 + 5r = 22 + 15 = 37.$

Răspuns: $a_{14} = 37$. Barem: 2p, 3p.

2. Punctul de intersecție a graficelor lui $f(x) = x - 3$ și $g(x) = 5 - x$

$f(x) = g(x) \iff x - 3 = 5 - x \iff x = 4, \qquad y = f(4) = 1.$

Răspuns: $A(4, 1)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

3. Ecuația $2^{3-x} = \frac14$

$\frac14 = 2^{-2}$, deci $3 - x = -2 \iff x = 5$.

Răspuns: $x = 5$. Barem: 2p, 3p.

4. Câte numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele lui $M = \{0, 1, 2, 3\}$?

Tripletele de cifre distincte din $M$: $A_4^3 = 24$. Dintre ele, cele care încep cu $0$ (deci nu sunt numere de 3 cifre): $A_3^2 = 6$.

$24 - 6 = 18.$

(Direct: $3\cdot 3\cdot 2 = 18$.) Răspuns: $18$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $A(1, 2)$, $B(3, 0)$; simetricul lui $A$ față de $B$

$B$ este mijlocul lui $AC$: $x_C = 2x_B - x_A = 5$, $y_C = 2y_B - y_A = -2$.

Răspuns: $C(5, -2)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

6. Triunghiul $ABC$ cu $AB = 6$, $AC = 5$, $m(\angle BAC) = 60^\circ$. Lungimea $BC$

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A = 36 + 25 - 2\cdot 6\cdot 5\cdot\frac12 = 31.$

Răspuns: $BC = \sqrt{31}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Sistemul $\begin{cases} x + y - 2z = 0\\ x - y + z = 1\\ x + y + az = 2\end{cases}$

a) Determinantul matricei sistemului

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & a\end{vmatrix} = -a + 1 - 2 - (2 + 1 + a) = -2a - 4.$

Răspuns: $\Delta = -2a - 4$. Barem: 2p, 3p.

b) $a$ pentru care matricea este inversabilă

$\Delta \ne 0 \iff -2a - 4 \ne 0 \iff a \ne -2$.

Răspuns: $a \in \mathbb R\setminus\{-2\}$. Barem: 3p, 2p.

c) Rezolvați sistemul pentru $a = 0$

$\begin{cases} x + y - 2z = 0\\ x - y + z = 1\\ x + y = 2\end{cases}$

Din prima și a treia: $2 - 2z = 0 \Rightarrow z = 1$. A doua: $x - y = 0$, iar cu $x + y = 2$: $x = y = 1$.

Răspuns: $(x, y, z) = (1, 1, 1)$. Barem: 2p, 3p.

2. $x * y = x + y - 1$ (asociativă)

a) $x * 1 = x$

$x * 1 = x + 1 - 1 = x.$

Barem: 4p, 1p.

b) Ecuația $x * x * x = 4$

$x * x = 2x - 1$, apoi $(x * x) * x = 2x - 1 + x - 1 = 3x - 2$.

$3x - 2 = 4 \iff x = 2.$

Răspuns: $x = 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) $n \ge 2$ cu $C_n^1 * C_n^2 = 14$

$C_n^1 = n$, $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$:

$n + \frac{n(n-1)}{2} - 1 = 14 \iff 2n + n^2 - n = 30 \iff n^2 + n - 30 = 0 \iff (n + 6)(n - 5) = 0.$

Răspuns: $n = 5$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x + 1}{e^x}$

a) $\dfrac{f'(x)}{f(x)} = -\dfrac{x}{x + 1}$

$f'(x) = \frac{e^x - (x + 1)e^x}{e^{2x}} = \frac{-x}{e^x}, \qquad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-x}{e^x}\cdot\frac{e^x}{x + 1} = -\frac{x}{x+1}.$

Barem: 3p, 2p.

b) $f$ este descrescătoare pe $(0, +\infty)$

$f'(x) = -\dfrac{x}{e^x} < 0$ pentru orice $x > 0$, deci $f$ este (strict) descrescătoare. Barem: 3p, 2p.

c) Asimptota oblică a graficului funcției $g(x) = \dfrac{e^{2x}f^2(x)}{x}$

$e^{2x}f^2(x) = (x + 1)^2$, deci $g(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x}$.

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2} = 1, \qquad n = \lim_{x\to+\infty}\big(g(x) - x\big) = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x} = 2.$

Răspuns: $y = x + 2$. Barem: 1p, 1p, 1p, 2p.

2. $f(x) = x^{2012} + x^{2011} + x^2 + x$

a) Primitiva $F$ cu $F(0) = 1$

$F(x) = \frac{x^{2013}}{2013} + \frac{x^{2012}}{2012} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + c, \quad F(0) = c = 1.$

Răspuns: $F(x) = \dfrac{x^{2013}}{2013} + \dfrac{x^{2012}}{2012} + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x + 1}\,dx$

$f(x) = x^{2011}(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(x^{2011} + x)$, deci

$\int_0^1(x^{2011} + x)\,dx = \left(\frac{x^{2012}}{2012} + \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 = \frac{1}{2012} + \frac12 = \frac{1007}{2012}.$

Răspuns: $\dfrac{1007}{2012}$. Barem: 2p, 3p.

c) Volumul corpului de rotație pentru $g:[1, 2] \to \mathbb R$, $g(x) = f(x) - x^{2012} - x^{2011}$

$g(x) = x^2 + x$, deci

$V = \pi\int_1^2(x^2 + x)^2\,dx = \pi\int_1^2(x^4 + 2x^3 + x^2)\,dx = \pi\left(\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}\right)\Big|_1^2.$

$= \pi\left(\frac{31}{5} + \frac{15}{2} + \frac73\right) = \pi\cdot\frac{186 + 225 + 70}{30} = \frac{481\pi}{30}.$

Răspuns: $V = \dfrac{481\pi}{30}$. Barem: 1p, 3p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_{14} = 37$
I.2	$A(4, 1)$
I.3	$x = 5$
I.4	$18$
I.5	$(5, -2)$
I.6	$BC = \sqrt{31}$
II.1.a	$-2a - 4$
II.1.b	$a \ne -2$
II.1.c	$(1, 1, 1)$
II.2.b	$x = 2$
II.2.c	$n = 5$
III.1.c	$y = x + 2$
III.2.b	$\tfrac{1007}{2012}$
III.2.c	$\tfrac{481\pi}{30}$

Ce merită reținut din varianta 7

• Progresii aritmetice: $a_m - a_k = (m - k)r$ — nu ai nevoie de $a_1$.
• Numere cu cifre distincte: scade cazurile care încep cu $0$.
• Factorizarea integrandului ($f = (x+1)(x^{2011} + x)$) simplifică fracția înainte de integrare.
• Volumul de rotație: $V = \pi\int_a^b g^2(x)\,dx$ — ridică întâi la pătrat, apoi integrează termen cu termen.