Rezolvare BAC 2012 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică (M2 — filiera tehnologică / științe ale naturii), sesiunea iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $2^{-1} + 2^{-2} = 0{,}75$

$\frac12 + \frac14 = \frac34 = 0{,}75.$

Barem: 3p, 2p.

2. $\dfrac{2}{x - 3} < 0$

Numărătorul e pozitiv, deci fracția e negativă exact când $x - 3 < 0$.

Răspuns: $x \in (-\infty, 3)$. Barem: 3p, 2p.

3. $\sqrt{x + 2} = x + 2$

Condiție: $x \ge -2$. Ridicând la pătrat: $x + 2 = (x+2)^2 \iff (x + 2)(x + 1) = 0$.

Răspuns: $x \in \{-2, -1\}$ (ambele verifică). Barem: 1p, 2p, 2p.

4. Depozit de 900 lei, după un an 1008 lei; dobânda $p\%$

Dobânda este $1008 - 900 = 108$ lei: $\dfrac{p}{100}\cdot 900 = 108 \iff 9p = 108 \iff p = 12$.

Răspuns: $p = 12$. Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $B$ astfel încât $A(2,3)$ să fie mijlocul lui $(OB)$

$2 = \dfrac{0 + x_B}{2}$, $3 = \dfrac{0 + y_B}{2}$.

Răspuns: $B(4, 6)$. Barem: 3p, 2p.

6. Unghiul ascuțit $x$ cu $\dfrac{\sin x + 4\cos x}{\cos x} = 5$

$\sin x + 4\cos x = 5\cos x \iff \sin x = \cos x \iff \operatorname{tg} x = 1$; $x$ ascuțit.

Răspuns: $x = 45^\circ$. Barem: 1p, 2p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $H(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $x > 0$

a) $\det(H(x)) = 1$

Matrice superior triunghiulară cu $1$ pe diagonală: $\det = 1\cdot1\cdot1 = 1$. Barem: 4p, 1p.

b) $a > 0$ cu $H(x)H(a) = H(x)$ pentru orice $x > 0$

$H(x)H(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln a + \ln x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = H(ax).$

Egalitatea cu $H(x)$ cere $\ln a + \ln x = \ln x$, adică $\ln a = 0$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p, 2p.

c) $\det(H(1) + H(2) + \ldots + H(2012))$

$\sum_{k=1}^{2012} H(k) = \begin{pmatrix} 2012 & 0 & 0\\ 0 & 2012 & \ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln 2012\\ 0 & 0 & 2012\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2012 & 0 & 0\\ 0 & 2012 & \ln(2012!)\\ 0 & 0 & 2012\end{pmatrix}.$

Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este $2012^3$.

Răspuns: $2012^3$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 + 3X^2 - 3X - 1$, cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$

a) $X - 1 \mid f$

$f(1) = 1 + 3 - 3 - 1 = 0$, deci (teorema lui Bézout) $X - 1$ divide $f$. Barem: 3p, 2p.

b) $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = -3$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -3$:

$(-3)^2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15.$

Răspuns: $15$. Barem: 1p, 1p, 3p.

c) $(2 - x_1)(2 - x_2)(2 - x_3) = 13$

$f = (X - x_1)(X - x_2)(X - x_3)$, deci produsul cerut este $f(2) = 8 + 12 - 6 - 1 = 13$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \sqrt x - \ln x$

a) $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(x) - f(4)}{x - 4} = 0$

Limita este $f'(4)$. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x} - \dfrac1x$, deci $f'(4) = \dfrac14 - \dfrac14 = 0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $f$ crescătoare pe $(4, +\infty)$

$f'(x) = \dfrac{\sqrt x - 2}{2x}$; pentru $x > 4$, $\sqrt x > 2$, deci $f'(x) > 0$. Barem: 2p, 3p.

c) Asimptota verticală

$\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}(\sqrt x - \ln x) = 0 - (-\infty) = +\infty.$

Răspuns: dreapta $x = 0$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = xe^x$

a) $F(x) = xe^x - e^x + 2012$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = e^x + xe^x - e^x = xe^x = f(x)$. Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_1^e f(\ln x)\,dx$

$f(\ln x) = \ln x\cdot e^{\ln x} = x\ln x$. Prin părți:

$\int_1^e x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e - \int_1^e\frac{x}{2}dx = \frac{e^2}{2} - \frac{x^2}{4}\Big|_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.$

Răspuns: $\dfrac{e^2 + 1}{4}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

c) Volumul pentru $g(x) = \dfrac{f(x)}{x} = e^x$, $x \in [1, 2]$

$V = \pi\int_1^2 e^{2x}dx = \pi\frac{e^{2x}}{2}\Big|_1^2 = \frac{\pi(e^4 - e^2)}{2} = \frac{\pi e^2(e^2 - 1)}{2}.$

Răspuns: $\dfrac{\pi e^2(e^2 - 1)}{2}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$x \in (-\infty, 3)$
I.3	$x \in \{-2, -1\}$
I.4	$p = 12$
I.5	$B(4, 6)$
I.6	$x = 45^\circ$
II.1.b	$a = 1$
II.1.c	$2012^3$
II.2.b	$15$
III.1.c	$x = 0$
III.2.b	$\tfrac{e^2+1}{4}$
III.2.c	$\tfrac{\pi e^2(e^2-1)}{2}$

Ce merită reținut din varianta 5

• $H(x)H(y) = H(xy)$ — matricele cu $\ln x$ transformă înmulțirea în adunare de logaritmi.
• $\prod(a - x_i) = f(a)$ pentru un polinom monic cu rădăcinile $x_i$.
• $e^{\ln x} = x$ simplifică imediat $f(\ln x)$.