Rezolvare BAC 2013 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 6

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_tehnologic, sesiunea de rezervă, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $2(5 - \sqrt2) + 2\sqrt2 = 10$

$10 - 2\sqrt2 + 2\sqrt2 = 10$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 - 9$: $f(-3) + f(3)$

$f(-3) = 9 - 9 = 0$, $f(3) = 0$, suma $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $5^{2x} = 25$

$25 = 5^2$, deci $2x = 2 \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 2p, 3p.

4. Prețul de 100 lei după o scumpire cu $20\%$

Scumpirea: $20\%\cdot 100 = 20$ lei, deci noul preț este $120$ lei.

Răspuns: 120 de lei. Barem: 2p, 3p.

5. Distanța $AB$, $A(1,1)$, $B(3,1)$

$AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = 2.$

Răspuns: $AB = 2$. Barem: 3p, 2p.

6. $\cos 30^\circ + \cos 150^\circ$

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, deci suma este $\dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\sqrt3}{2} = 0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & -1\\ 0 & x\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$1\cdot 1 - (-1)\cdot 0 = 1$. Barem: 3p, 2p.

b) Pentru $x = 0$: $A - B = I_2$

$A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 2p, 3p.

c) $x$ cu $\det(A + B) = 0$

$A + B = \begin{pmatrix} 1 + x & -2\\ 0 & 1 + x\end{pmatrix}$, $\det = (1 + x)^2 = 0 \iff x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p, 2p.

2. Legea $x\circ y = x + y + 3$

a) $2\circ(-2)$

$2 - 2 + 3 = 3$. Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) $e = -3$ este element neutru

$x\circ(-3) = x - 3 + 3 = x$ și $(-3)\circ x = x$, pentru orice $x$. Barem: 2p, 3p.

c) $2013\circ(-2013) = x\circ x$

$2013\circ(-2013) = 3$, iar $x\circ x = 2x + 3$; $2x + 3 = 3 \iff x = 0$.

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x+1}{x}$

a) $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1 + \frac1x\right) = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

b) $f$ descrescătoare pe $(0, +\infty)$

$f(x) = 1 + \dfrac1x$, $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$. Barem: 2p, 3p.

c) Tangenta în $x_0 = 1$

$f(1) = 2$, $f'(1) = -1$: $y - 2 = -(x - 1) \iff y = -x + 3$.

Răspuns: $y = -x + 3$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = 3x^2 + 1$

a) $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\,dx$

$\int_0^1 f'(x)\,dx = f(1) - f(0) = 4 - 1 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) $F(x) = x^3 + x + 1$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = 3x^2 + 1 = f(x)$. Barem: 3p, 2p.

c) Aria între grafic, $Ox$, $x = 0$, $x = 1$

$f > 0$, deci

$\mathcal A = \int_0^1(3x^2 + 1)\,dx = (x^3 + x)\Big|_0^1 = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$0$
I.3	$x = 1$
I.4	120 lei
I.5	$AB = 2$
I.6	$0$
II.1.a	$1$
II.1.c	$x = -1$
II.2.a	$3$
II.2.c	$x = 0$
III.1.a	$1$
III.1.c	$y = -x + 3$
III.2.a	$3$
III.2.c	$2$

Ce merită reținut din varianta 6

• Unghiuri suplementare: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$.
• $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ — nu e nevoie să calculezi derivata.
• Elementul neutru al legii $x + y + c$ este $-c$.