Rezolvare BAC 2010 Matematică (tehnologic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2010 la Matematică (filiera tehnologică și profilul real, științe ale naturii). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_1 = 3$, $a_3 = 7$: suma primilor 10 termeni

$a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow 7 = 3 + 2r \Rightarrow r = 2$. Atunci $a_{10} = a_1 + 9r = 21$ și

$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = \frac{24\cdot 10}{2} = 120.$

Răspuns: $S_{10} = 120$. Barem: 2p rația, 1p $a_{10}$, 2p suma.

2. $A(m, -1)$ pe graficul lui $f(x) = x^2 - 3x + 1$

$m^2 - 3m + 1 = -1 \iff m^2 - 3m + 2 = 0 \iff (m - 1)(m - 2) = 0.$

Răspuns: $m \in \{1, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

3. $\log_5(2x + 3) = 2$

Condiție: $x > -\dfrac32$. $2x + 3 = 5^2 = 25 \iff x = 11$, care convine.

Răspuns: $x = 11$. Barem: 1p, 4p.

4. Numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente

$C_5^3 = \frac{5!}{3!\,2!} = 10.$

Răspuns: 10. Barem: 3p, 2p.

5. Distanța de la $C(2,-1)$ la mijlocul lui $AB$, $A(-1,-2)$, $B(1,2)$

$M\left(\dfrac{-1+1}{2}, \dfrac{-2+2}{2}\right) = M(0, 0)$, deci

$CM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt5.$

Răspuns: $CM = \sqrt5$. Barem: 2p, 1p, 2p.

6. Aria triunghiului cu $AB = AC = 8$, $m(\angle BAC) = 30^\circ$

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2} = \frac{8\cdot 8\cdot\frac12}{2} = 16.$

Răspuns: $16$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, $f(X) = X^2 - 3X + I_3$

a) $\det(I_3 + B)$

$I_3 + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ este superior triunghiulară, deci $\det = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $f(A) = I_3 + B$

$A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 7\\ 0 & 9 & 6\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}, \qquad A^2 - 3A + I_3 = \begin{pmatrix} 9 - 9 + 1 & 6 - 3 & 7 - 3\\ 0 & 1 & 6 - 3\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3 + B.$

Barem: 2p, 1p, 2p.

c) $(f(A))^3 = I_3 + 3B + 3B^2$

$I_3$ comută cu $B$, deci se aplică binomul:

$(I_3 + B)^3 = I_3 + 3B + 3B^2 + B^3.$

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, iar $B^3 = B^2\cdot B = O_3$. Rezultă $(f(A))^3 = I_3 + 3B + 3B^2$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Pe $\mathbb Z$: $x * y = x + y - 3$, $x\circ y = (x - 3)(y - 3) + 3$

a) $x\circ x = x * x$

$(x - 3)^2 + 3 = 2x - 3 \iff (x - 3)^2 - 2(x - 3) = 0 \iff (x - 3)(x - 5) = 0.$

Răspuns: $x \in \{3, 5\}$. Barem: 2p, 1p, 2p.

b) $a$ întreg cu $x\circ a = 3$ pentru orice $x$

$(x - 3)(a - 3) + 3 = 3 \iff (x - 3)(a - 3) = 0$ pentru orice $x$, deci $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$. Barem: 2p, 3p.

c) Sistemul $x * (y + 1) = 4$, $(x - y)\circ 1 = 5$

• $x + y + 1 - 3 = 4 \iff x + y = 6$;
• $(x - y - 3)(1 - 3) + 3 = 5 \iff -2(x - y - 3) = 2 \iff x - y = 2$.

Răspuns: $x = 4$, $y = 2$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R^* \to \mathbb R$, $f(x) = x^3 + \dfrac3x$

a) $f'(x)$

$f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^2} = \frac{3(x^4 - 1)}{x^2}.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

Este $f'(1) = 3 - 3 = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) Intervalele de monotonie

$f'(x) = \dfrac{3(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2}$ are semnul lui $x^2 - 1$; $f'(x) = 0 \iff x = \pm1$.

Răspuns: $f$ crescătoare pe $(-\infty, -1]$ și pe $[1, +\infty)$; descrescătoare pe $[-1, 0)$ și pe $(0, 1]$. Barem: 1p, 2p, 2p.

2. $f:[0,1] \to \mathbb R$, $f(x) = x\sqrt{2 - x^2}$

a) Volumul corpului de rotație

$V = \pi\int_0^1 x^2(2 - x^2)\,dx = \pi\left(\frac{2x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1 = \pi\left(\frac23 - \frac15\right) = \frac{7\pi}{15}.$

Răspuns: $\dfrac{7\pi}{15}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$

Substituim $t = 2 - x^2$, $dt = -2x\,dx$; $x = 0 \to t = 2$, $x = 1 \to t = 1$:

$\int_0^1 x\sqrt{2 - x^2}\,dx = \frac12\int_1^2\sqrt t\,dt = \frac12\cdot\frac23t\sqrt t\Big|_1^2 = \frac{2\sqrt2 - 1}{3}.$

Răspuns: $\dfrac{2\sqrt2 - 1}{3}$. Barem: 3p, 2p.

c) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\int_0^x f(t)\,dt}{x^2}$

Cazul $\frac00$; funcția $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ are $F' = f$. Cu l'Hospital:

$\lim_{x\to0}\frac{x\sqrt{2 - x^2}}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{2 - x^2}}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

(Baremul calculează explicit $\int_0^x f = \frac{2\sqrt2 - (2 - x^2)\sqrt{2 - x^2}}{3}$ și apoi aplică l'Hospital — același rezultat.)

Răspuns: $\dfrac{\sqrt2}{2}$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$S_{10} = 120$
I.2	$m \in \{1, 2\}$
I.3	$x = 11$
I.4	10
I.5	$CM = \sqrt5$
I.6	aria $16$
II.1.a	$1$
II.2.a	$x \in \{3, 5\}$
II.2.b	$a = 3$
II.2.c	$x = 4$, $y = 2$
III.1.b	$0$
III.2.a	$\tfrac{7\pi}{15}$
III.2.b	$\tfrac{2\sqrt2 - 1}{3}$
III.2.c	$\tfrac{\sqrt2}{2}$

Ce merită reținut din model

• Matrice nilpotentă: dacă $B^3 = O_3$, binomul lui Newton pentru $(I_3 + B)^n$ se oprește după trei termeni.
• Element absorbant: la $x\circ y = (x-3)(y-3) + 3$, $a = 3$ dă mereu $3$.
• Limite cu integrală variabilă: l'Hospital + $\left(\int_0^x f\right)' = f(x)$.